半导体制造中，晶圆直径增大、厚度减薄使残余应力和自重挠度的影响日益突出，二者的可靠量化直接关系到尺寸稳定性和良率。要测翘曲，常规做法是双面轮廓测量加机械翻转，即三点支撑翻转法。这条路结果可靠，代价是设备复杂、检测节拍慢、成本高。工业上真正想要的，是只测一个面就把翘曲和残余应力都拿到手。拦在这个目标面前的有两道坎：其一，晶圆水平支撑测量时，表面轮廓是自重挠度和固有翘曲的叠加，且挠度占主导，单面数据里把两者拆开并不容易；其二，从翘曲反推残余应力本质上是非唯一反问题，多种应力分布可以产生同一翘曲场。

本文的全部工作，就是依次跨过这两道坎。Flexfilm费曼仪器探针式台阶仪可以实现表面微观特征的精准表征与关键参数的定量测量，精确测定样品的表面台阶高度与膜厚，为材料质量把控和生产效率提升提供数据支撑。

基础测量与关键观察

硅晶圆双面的表面轮廓：a 正面；b 背面

实验用10片直径200 mm、厚0.725 mm的硅晶圆，在台阶仪上做双面轮廓测量：激光位移传感器测高度，精密平移台做面内扫描，z向分辨率0.01 μm，面内间距1 mm，共28913个测点。晶圆由半径95 mm处、间隔120°的三个支撑点简支。用三点支撑翻转法处理双面数据，挠度取双面轮廓之和的一半，翘曲取之差的一半，所得结果充当后续一切对比的参考基准。

使用三点支撑翻转法测量硅晶圆的挠度和翘曲：a正面轮廓b背面轮廓c挠度d翘曲

数据给出三个决定性的观察：挠度分布在10片晶圆间几乎一致，翘曲分布却各不相同；挠度呈现120°周期性重复；翘曲量值比挠度小一个数量级。这三条性质，正是后面两个翘曲估计方法的立足点。

10片硅晶圆挠度的平均值和标准误差：a平均值b标准误差

方法一：累积平均

翘曲因晶圆而异，可视为随机量；挠度在同支撑条件下可复现。把多个晶圆的单面轮廓累积求平均，随机翘曲分量相互抵消，剩下的就是挠度分布。从测量轮廓中减去它，翘曲随之得到。

方法二：对称性

硅晶圆的三维有限元模型

累积法要攒数据，更省事的做法是单片单次测量直接出结果。依据正是120°周期性：支撑点以120°间隔布置，挠度分布每120°重复，而间隔120°分割的分布自身对称，等价于每60°重复。翘曲不具备这种周期性，因此把挠度取为60°分割的六个扇区内分布的平均值，再扩展回360°，从测量轮廓中减去即得翘曲。

材料各向异性对自重挠度影响的有限元分析结果：a 各向异性情况下的挠度；b 各向同性情况下的挠度；c (a)与(b)绝对差异的百分比

这里有个前提需要交代：硅是各向异性材料，严格的周期重复并不成立。有限元分析给出了各向同性与各向异性两种情况的挠度对比，局部最大差异约10%，总体不大，于是各向异性被忽略。

从单次表面轮廓测量获取挠度的流程概览

翘曲估计精度

从累积表面轮廓测量获取挠度和翘曲的结果：a 挠度；b 翘曲；c 翘曲与图2d正确翘曲绝对差异的百分比

从单次表面轮廓获取挠度和翘曲的结果：a 挠度；b 翘曲；c 翘曲与图2d正确翘曲绝对差异的百分比

与三点支撑翻转法的参考值对比：累积法的最大局部差异约12%，10片晶圆落在10%~13%；对称性法约20%，精度更低是方法固有的代价，用平均的扇区分布近似真实挠度，引入了额外误差。翘曲误差之所以被放大，是因为翘曲比挠度小一个量级，挠度估计的微小偏差会在相减后显著体现。误差较大的区域集中在晶圆边缘。对10%~13%和20%这两个数字要这么理解：若不确定度可接受，累积法或对称性法即可取代双面检测；继续累积更多测量，精度还能往上走。

残余应力反分析框架

拿到翘曲，转向第二道坎。思路是把测量翘曲表示为单位初始应力响应的叠加：对有限元模型逐对施加正背反向的单位初始应力，记录翘曲响应和应力响应，叠加系数由最小二乘确定，系数一旦解出，应力分布按同一组系数叠加即得。

问题在于解不唯一：不加约束的最小二乘会给出非物理的应力分布。本文用基于残余应力空间梯度的正则化替代常规的系数一阶差分正则化，直接惩罚应力本身的振荡，物理依据更扎实。正则化参数历来靠分析者主观挑选，这里改由AIC和BIC定量权衡拟合优度与模型复杂度，客观定出。

仿真数据验证

用于验证残余应力评估的合成位移和残余应力：a ux；b uy；c uz（翘曲）；d σx；e σy；f τxy

验证逻辑是闭环的：先对圆板模型施加已知初始应力，生成翘曲和应力，再把翘曲代回反分析，看能不能还原应力。常规最小二乘果然失败：翘曲虽然复原了，面内位移和应力分布完全不合理，非唯一性坐实。正则化参数走两个极端也不行：过小，应力大幅波动；过大，分布被抹平。AIC在α=10⁻⁵取最小值，BIC在α=10⁻⁴，两个参数下位移和应力均连续合理，与参考解高度吻合，且结果对参数在合适值附近的扰动不敏感。

实测应用与误差传播

三点支撑翻转法翘曲得到的残余应力分布：a σx；b σy；c τxy

把框架搬到实测数据上，分别用三种翘曲作输入：翻转法翘曲、累积法翘曲、对称性法翘曲。翻转法输入的结果视为最合理的参照；累积法翘曲虽带约10%误差，识别出的应力分布和量值依然接近参照；对称性法翘曲的20%误差传到应力上有可见偏差，但量值仍基本一致。误差在反演环节没有失控，说明整个链条是稳的。

适用边界

方法针对残余应力通过弯曲变形产生可测翘曲的体硅晶圆，适合评估切片、抛光、热处理等工艺引入的晶圆级应力。它不适用于薄膜应力：薄膜应力局限于表面附近，不同厚度方向分布可产生相似翘曲，没有额外约束无法唯一确定。识别的空间分辨率受有限元离散化限制，结果应读作物理上合理的近似，而非精确应力分布。此外，方法假设线弹性行为，忽略强材料各向异性和测量噪声的影响。

本研究提出了从水平放置硅晶圆单面测量的表面轮廓中估计翘曲的方法，其中测量轮廓由自重挠度和翘曲组成。具体做法有两种：一是通过累积表面轮廓测量估计挠度，减去后获得翘曲；二是利用单次表面轮廓测量中挠度分布的对称性估计挠度，减去后获得翘曲。使用累积测量时，翘曲识别与可靠的三点支撑翻转法结果的差异约10%。本研究使用了10次测量，更大的数据集有望提高精度。使用对称性方法时，识别精度略低，但仍能得到接近正确值的结果，与三点支撑翻转法的差异约20%。

翘曲估计之后，利用基于叠加原理的方法识别残余应力。该方法本身先前已有提出，本研究新引入了基于残余应力而非翘曲的正则化，使残余应力估计成为可能。本研究表明，硅晶圆的翘曲和残余应力可以从单面表面测量合理估计，无需双面检测。据作者所知，这是首个将单面翘曲估计与基于信息准则的反演应力识别相结合的集成框架。

Flexfilm费曼仪器探针式台阶仪

技术支持：180-1566-6117

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原文参考：《Single‑Side Warpage Estimation and Residual Stress Identifcation in Silicon Wafers》

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